Пассивные четырехполюсники
При анализе электрических цепей в задачах исследования взаимосвязи между переменными (токами, напряжениями, мощностями и т.п.) двух каких-то ветвей схемы широко используется теория четырехполюсников. Четырехполюсник – это часть схемы произвольной конфигурации, имеющая две пары зажимов (отсюда и произошло его название), обычно называемые входными и выходными.
Примерами четырыхполюсника являются трансформатор, усилитель, потенциометр, линия электропередачи и другие электротехнические устройства, у которых можно выделить две пары полюсов.
В общем случае четырехполюсники можно разделить на активные, в структуру которых входят источники энергии, и пассивные, ветви которых не содержат источников энергии.
Ниже будут рассмотрены элементы теории пассивных четырехполюсников.
Для записи уравнений четырехполюсника выделим в произвольной схеме ветвь с единственным источником энергии и любую другую ветвь с некоторым сопротивлением 
(см. рис. 1,а).
В соответствии с принципом компенсации заменим исходное сопротивление 
источником с напряжением 
(см. рис. 1,б). Тогда на основании метода наложения для цепи на рис. 1,б можно записать
 ; |
(1) |
 . |
(2) |
Решая полученные уравнения (1) и (2) относительно напряжения и тока на первичных зажимах, получим
;
или
 ; |
(3) |
 , |
(4) |
где 
; 
; 
; 
- коэффициенты четырехполюсника.
Учитывая, что в соответствии с принципом взаимности 
, видно, что коэффициенты четырехполюсника связаны между собой соотношением
 . |
(5) |
Уравнения (3) и (4) представляют собой основные уравнения четырехполюсника; их также называют уравнениями четырехполюсника в А-форме (см. табл. 1). Вообще говоря, существует шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника. Действительно, четырехполюсник характеризуется двумя напряжениями 
и 
и двумя токами 
и 
. Любые две величины можно выразить через остальные. Так как число сочетаний из четырех по два равно шести, то и возможно шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника, которые приведены в табл. 1. Положительные направления токов для различных форм записи уравнений приведены на рис. 2. Отметим, что выбор той или иной формы уравнений определяется областью и типом решаемой задачи.
Таблица 1. Формы записи уравнений пассивного четырехполюсника
|
Форма |
Уравнения |
Связь с коэффициентами основных уравнений |
|
А-форма |
|
|
|
Y-форма |
|
|
|
Z-форма |
|
|
|
Н-форма |
|
|
|
G-форма |
|
|
|
B-форма |
|
|
Если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырехполюсник называется симметричным. Как видно из сравнения А- и В- форм в табл. 1, это выполняется при 
.
Четырехполюсники, не удовлетворяющие данному условию, называются несимметричными.
При практическом использовании уравнений четырехполюсника для анализа цепей необходимо знать значения его коэффициентов. Коэффициенты четырехполюсника могут быть определены экспериментальным или расчетным путями. При этом в соответствии с соотношением (5) определение любых трех коэффициентов дает возможность определить и четвертый.
Один из наиболее удобных экспериментальных методов определения коэффициентов четырехполюсника основан на опытах холостого хода и короткого замыкания при питании со стороны вторичных зажимов и опыте холостого хода при питании со стороны первичных зажимов. В этом случае при 
на основании уравнений (3) и (4)
 . |
(6) |
При 
 |
(7) |
и при 
 . |
(8) |
Решение уравнений (6)-(8) относительно коэффициентов четырехполюсника дает:
При определении коэффициентов четырехполюсника расчетным путем должны быть известны схема соединения и величины сопротивлений четырехполюсника. Как было отмечено ранее, пассивный четырехполюсник характеризуется тремя независимыми постоянными коэффициентами. Следовательно, пассивный четырехполюсник можно представить в виде трехэлементной эквивалентной Т- (рис. 3,а) или П-образной (рис. 3,б) схемы замещения.
Для определения коэффициентов четырехполюсника для схемы на рис. 3,а с использованием первого и второго законов Кирхгофа выразим 
и 
через 
и 
:
 ; |
(9) |
 . |
(10) |
Сопоставление полученных выражений (9) и (10) с соотношениями (3) и (4) дает:
Данная задача может быть решена и другим путем. При 
(холостой ход со стороны вторичных зажимов) в соответствии с (3) и (4)
и 
;
но из схемы на рис. 3,а
, а 
;
откуда вытекает: 
и 
.
При 
(короткое замыкание на вторичных зажимах)
и 
.
Из схемы на рис. 3,а
;
.
Следовательно, 
.
Таким образом, получены те же самые результаты, что и в первом случае.
Коэффициенты четырехполюсника для схемы на рис. 3,б могут быть определены аналогично или на основании полученных для цепи на рис. 3,а с использованием рассмотренных ранее формул преобразования “ звезда-треугольник”.
Из вышесказанного можно сделать вывод, что зная коэффициенты четырехполюсника, всегда можно найти параметры Т- и П-образных схем его замещения.
На практике часто возникает потребность в переходе от одной формы записи уравнений четырехполюсника к другой. Для решения этой задачи, т.е. чтобы определить коэффициенты одной формы записи уравнений через коэффициенты другой, следует выразить какие-либо две одинаковые величины в этих формулах через две остальные и сопоставить их с учетом положительных направлений токов для каждой из этих форм. Так при переходе от А- к Z-форме на основании (4) имеем
 . |
(11) |
Подстановка соотношения (11) в (3) дает
 . |
(12) |
Сопоставляя выражения (11) и (12) с уравнениями четырехполюсника в Z-форме (см. табл. 1), получим
.
При анализе работы четырехполюсника на нагрузку 
удобно использовать понятие входного сопротивления с первичной стороны 
и коэффициента передачи 
.Учитывая, что 
и 
, для этих параметров можно записать:
Зная 
, 
и 
, можно определить остальные переменные на входе и выходе четырехполюсника: 
; 
; 
.
Характеристическое сопротивление и коэффициент
распространения симметричного четырехполюсника
В электросвязи широко используется режим работы симметричного четырехполюсника, при котором его входное сопротивление равно нагрузочному, т.е.
.
Это сопротивление обозначают как 
и называют характеристическим сопротивлением симметричного четырехполюсника, а режим работы четырехполюсника, для которого справедливо
,
называется режимом согласованной нагрузки.
В указанном режиме для симметричного четырехполюсника 
на основании (3) и (4) можно записать
 ; |
(13) |
 . |
(14) |
Разделив соотношение (13) на (14), получаем уравнение
,
решением которого является
 . |
(15) |
С учетом (15) уравнения (13) и (14) приобретают вид
;
.
Таким образом,
,
где 
- коэффициент распространения; 
- коэффициент затухания (измеряется в неперах); 
- коэффициент фазы (измеряется в радианах).
Одному неперу соответствует затухание по напряжению или току в е=2,718… раз, а по мощности, поскольку для рассматриваемого случая 
в е2 раз.
Запишем уравнение симметричного четырехполюсника с использованием коэффициента распространения.
По определению
 . |
(16) |
Тогда
 . |
(17) |
Решая (17) и (18) относительно 
и 
, получим
и 
.
Учитывая, что
и
,
получаем уравнения четырехполюсника, записанные через гиперболические функции:
Литература
Контрольные вопросы и задачи
Ответ: 
; 
; 
; 
.
; 
; 
Определить параметры Т-образной схемы замещения.
Ответ: 
; 
; 
.
; 
.
Определить, при каком сопротивлении нагрузки входное сопротивление четырехполюсника будет равно нагрузочному сопротивлению.
Ответ: 
.
;
;
;
;
; 
; 
; 
;
;
;
; 
;
; 
;
;
;
; 
;
; 
;
;
;
; 
;
; 
;
;
.
; 
;
; 
.