Графические методы расчета с использованием характеристик по первым гармоникам и действующим значениям. Феррорезонанс. Аналитические методы расчета.

Графический метод с использованием характеристик
по первым гармоникам

При анализе нелинейной цепи данным методом изменяющиеся по сложному закону переменные величины заменяются их первыми гармониками , что позволяет использовать векторные диаграммы.

Основные этапы расчета:

- строится график зависимости нелинейного элемента для первых гармоник;

- произвольно задаются амплитудой одной из переменных , например , связанной с нелинейным элементом , и по характеристике последнего находят другую переменную , определяющую режим работы нелинейного элемента , после чего , принимая все величины синусоидально изменяющимися во времени , на основании построения векторной диаграммы определяется амплитуда первой гармоники переменной на входе цепи;

- путем построения ряда векторных диаграмм для различных значений строится зависимость , по которой для заданного значения определяется действительная величина , на основании чего проводится окончательный анализ цепи.

Графический метод с использованием характеристик
для действующих значений (метод эквивалентных синусоид)

При анализе нелинейной цепи данным методом реальные несинусоидально изменяющиеся переменные заменяются эквивалентными им синусоидальными величинами , действующие значения которых равны действующим значениям исходных несинусоидальных переменных. Кроме того , активная мощность , определяемая с помощью эквивалентных синусоидальных величин , должна быть равна активной мощности в цепи с реальной (несинусоидальной) формой переменных. Используемый прием перехода к синусоидальным величинам определяет другое название метода - метод эквивалентных синусоид.

Строго говоря, характеристика нелинейного элемента для действующих значений зависит от формы переменных , определяющих эту характеристику. Однако в первом приближении , особенно при качественном анализе , этим фактом обычно пренебрегают , считая характеристику неизменной для различных форм переменных. Указанное ограничивает возможности применения метода для цепей , где высшие гармоники играют существенную роль , например, для цепей с резонансными явлениями на высших гармониках.

Переход к эквивалентным синусоидам позволяет использовать при анализе цепей векторные диаграммы. В связи с этим этапы расчета данным методом в общем случае совпадают с рассмотренными в предыдущем разделе.

Метод расчета с использованием характеристик для действующих значений широко применяется для исследования явлений в цепях , содержащих нелинейную катушку индуктивности и линейный конденсатор (феррорезонансных цепях) , или цепях с линейной катушкой индуктивности и нелинейным конденсатором. Кроме того , данный метод применяется для анализа цепей с инерционными нелинейными элементами , у которых постоянная времени , характеризующая их инерционные свойства , много больше периода переменного напряжения (тока) источника питания. В этом случае в установившихся режимах инерционные нелинейные элементы можно рассматривать как линейные с постоянными параметрами (сопротивлением , индуктивностью , емкостью). При этом сами параметры определяются по характеристикам нелинейных элементов для действующих значений и для различных величин последних являются разными.

Феррорезонансные явления

Различают феррорезонанс в последовательной цепи (феррорезонанс напряжений) и феррорезонанс в параллельной цепи (феррорезонанс токов).

Рассмотрим первый из них на основе схемы на рис. 1. Для этого строим (см. рис. 2) прямую зависимости , определяемую соотношением

. (1)

Далее для двух значений сопротивлений ( и ) строим графики зависимостей : для - согласно соотношению (кривая на рис. 2); для - согласно выражению (кривая на рис. 2).

Точка пересечения кривой с прямой соответствует феррорезонансу напряжений. Феррорезонансом напряжений называется такой режим работы цепи , содержащей последовательно соединенные нелинейную катушку индуктивности и конденсатор , при котором первая гармоника тока в цепи совпадает по фазе с синусоидальным питающим напряжением. В соответствии с данным определением при рассмотрении реальной катушки действительная вольт-амперная характеристика (ВАХ) цепи , даже при значении сопротивления последовательного включаемого резистора , в отличие от теоретической (кривая на рис. 2) не касается оси абсцисс и смещается влево , что объясняется наличием высших гармоник тока , а также потерями в сердечнике катушки. С учетом последнего напряжение на катушке индуктивности , где - сопротивление , характеризующее потери в сердечнике , в режиме феррорезонанса не равно напряжению на конденсаторе.

Из построенных результирующих ВАХ цепи видно , что при увеличении питающего напряжения в цепи имеет место скачок тока: для кривой - из точки 1 в точку 2 , для кривой - из точки 3 в точку 4. Аналогично имеет место скачок тока при снижении питающего напряжения: для кривой - из точки 5 в точку 0; для кривой - из точки 6 в точку 7. Явление скачкообразного изменения тока при изменении входного напряжения называется триггерным эффектом в последовательной феррорезонансной цепи.

В соответствии с уравнением

(2)

на рис. 3 и 4 построены векторные диаграммы для двух произвольных значений тока ( ) в режимах до и после резонанса для обеих ВАХ (для - соответственно рис. 3 , а и 3 , б; для - рис. 4 , а и 4 , б); при этом соответствующие выбранным токам действующие значения напряжений , входящих в (2) , взяты из графиков на рис. 2.


Анализ векторных диаграмм позволяет сделать вывод , что в режиме до скачка тока напряжение на входе цепи опережает по фазе ток , а после скачка - отстает , т.е. в первом случае нагрузка носит индуктивный характер , а во втором - емкостной. Таким образом , скачок тока в феррорезонансной цепи сопровождается эффектом опрокидывания фазы.

Феррорезонанс в параллельной цепи рассмотрим на основе схемы на рис. 5. Для этого, как и в предыдущем случае, строим (см. рис. 6) прямую , определяемую выражением (1).


Далее, поскольку , в соответствии с соотношением строим результирующую ВАХ цепи.

Точка пересечения кривой с прямой соответствует феррорезонансу токов. Необходимо отметить , что в реальном случае действительная ВАХ цепи в отличие от теоретической не касается оси ординат , что объясняется наличием высших гармоник тока и неидеальностью катушки индуктивности.

Из построенной ВАХ видно , что при увеличении тока источника имеет место скачок напряжения. Явление скачкообразного изменения напряжения при изменении входного тока называется триггерным эффектом в параллельной феррорезонансной цепи.

На рис. 7 для двух (до и после резонанса) значений напряжения ( и ) построены векторные диаграммы; при этом соответствующие выбранным напряжениям действующие значения токов и взяты из графиков на рис. 6.


Анализ векторных диаграмм показывает , что в режиме до скачка напряжения ток источника опережает по фазе входное напряжение (рис. 7,а) , а после скачка (рис. 7,б) - отстает , т.е. в первом случае нагрузка носит емкостной характер , а во втором - индуктивный. Таким образом , скачок напряжения связан с эффектом опрокидывания фазы.


Аналитические методы расчета

Аналитические методы , в отличие от рассмотренных выше графических , позволяют проводить анализ нелинейной цепи в общем виде , а не для частных значений параметров элементов схемы. В этом заключается их главное преимущество. Однако аппроксимация нелинейной характеристики , лежащая в основе данных методов , изначально обусловливает внесение в расчеты большей или меньшей погрешности. Как и при графическом анализе цепей , при применении аналитических методов используются характеристики нелинейных элементов для мгновенных значений , по первым гармоникам и для действующих значений. При этом для расчета цепей переменного тока наиболее широкое распространение получили следующие аналитические методы:

  • метод аналитической аппроксимации;
  • метод кусочно-линейной аппроксимации;
  • метод гармонического баланса;
  • метод эквивалентных синусоид (метод расчета по действующим значениям).

В первых трех случаях обычно используются характеристики нелинейных элементов для мгновенных значений. Характеристики нелинейных элементов по первым гармоникам используются при применении частного варианта метода гармонического баланса - метода расчета по первым гармоникам. В свою очередь , метод эквивалентных синусоид основан на применении характеристик нелинейных элементов для действующих значений.

Метод аналитической аппроксимации

Данный метод основан на аппроксимации характеристик нелинейных элементов аналитическими выражениями с последующим аналитическим решением системы нелинейных уравнений состояния цепи. Точность , а с другой стороны , сложность расчета методом аналитической аппроксимации непосредственно зависят от вида принятой аналитической функции , аппроксимирующей характеристику нелинейного элемента. Поэтому ее выбор является важнейшим этапом при анализе цепи данным методом. Как уже отмечалось , для получения большей точности расчета необходимо выбирать аппроксимирующую функцию , наиболее полно соответствующую исходной нелинейной характеристике , что , однако , может привести в общем случае к появлению в уравнениях состояния сложных математических выражений , часто трудно разрешимых (или вообще неразрешимых) аналитически. С другой стороны , принятие чрезмерно простой функции для аппроксимации позволяет достаточно быстро получить результат , однако погрешность расчета может оказаться недопустимо высокой. Таким образом , выбор аппроксимирующей функции во многом зависит от поставленной задачи расчета и требуемой точности его результатов.

Пусть, например, в цепи состоящей из последовательно соединенных источника тока с и нелинейной катушки индуктивности, заданная графически вебер-амперная характеристика которой может быть аппроксимирована выражением

, (3)

требуется найти напряжение на индуктивном элементе.

На первом этапе определяем коэффициенты и аппроксимирующей функции с учетом того, что рабочий участок заданной графически кривой ограничен сверху амплитудой А тока в цепи, что сразу дает одну из двух точек аппроксимации.

После этого подставляем в (3) выражение , в результате чего получаем

или, с учетом соотношения

.

Тогда искомое напряжение на катушке индуктивности

.

Литература

  1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  2. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
  3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. В чем состоит сущность графического метода расчета с использованием характеристик по первым гармоникам?
  2. На чем основан метод эквивалентных синусоид?
  3. В каком случае и как метод эквивалентных синусоид можно применять для анализа цепей с инерционными нелинейными элементами?
  4. Какие цепи относятся к феррорезонансным?
  5. Что называется феррорезонансом напряжений? С помощью чего можно обеспечить данный режим?
  6. Что называется феррорезонансом токов? С помощью чего можно обеспечить данный режим?
  7. В чем заключается эффект опрокидывания фазы?
  8. Как можно экспериментально снять участки 4-6 и 2-5 на рис. 2 и участок 1-3 на рис. 6?
  9. Для заданной на рис. 2 кривой построить зависимость , обеспечивающую скачок тока с увеличением напряжения при заданной величине последнего. При решении принять .
  10. Для заданной на рис. 6 кривой построить зависимость , обеспечивающую триггерный эффект при заданной величине тока.
CAPTCHA